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Kaka Wan Yifan
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9.堆
计算机算法入门经典(Java与Python描述)
字数总计:4.9K

在上一章我们讨论了几种特别的二叉树。

  1. 满二叉树：
    最后一层的节点都是叶子节点，其它各层的所有节点都具有左右两个子节点。
  2. 完全二叉树：
    每层节点都完全填满，在最后一层如果不是满的，则只缺少右边的若干节点。
  3. 二叉查找树：
    对于树中的每一个节点，其左子树中的每个节点的值都要小于这个节点的值，而右子树的每个节点的值都大于这个节点的值。
  4. 平衡二叉树：
    任何节点的左右子树高度差的绝对值小于等于1。

这一章，我们的主题是"堆"，也是一种特别的二叉树。

堆的特点

大家如果去户外徒步的时候，经常会见到这种小石头堆。
玛尼堆

这个叫做玛尼堆，是当地人辟邪祈福之用。
玛尼堆有两个特点，最顶上有且仅有一颗石头，而且下面的石头通常比上面的石头大。而我们要讨论的堆，就和这个非常相似。

堆有两个特点：

  1. 堆必须是一个完全二叉树。
  2. 堆中每一个节点的值都必须大于等于(或小于等于)其子树中每个节点的值。

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做大顶堆。
对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做小顶堆。

堆

例如，在图中：

  • 1是大顶堆，因为其是 完全二叉树 ，而且每个节点的值都 大于等于 其子树中每个节点的值。
  • 2不是堆，虽然是 完全二叉树 ，但是1节点的子节点是2，不符合每个节点的都 大于等于(或小于等于) 其子树中每个节点的值。
  • 3是小顶堆，因为其是 完全二叉树 ，而且每个节点的值都 小于等于 其子树中每个节点的值。
  • 4不是堆，虽然每个节点的值都 小于等于 其子树中每个节点的值，但不是 完全二叉树 。

堆的实现

在了解什么是堆之后，我们来实现一个堆。

堆的表示

我们知道二叉树有两种存储方式：

  1. 链表存储法(也称，链式存储法)
  2. 数组存储法(也称，顺序存储法)

在之前讨论二叉查找树和平衡二叉树的时候，我们都毫不犹豫的选择了链表存储法。
但是对于堆呢？
我们知道，堆其实是一种完全二叉树，而完全二叉树之所以被称为"完全"，是因为用数组来存储完全二叉树的时候，不存在任何的浪费。
例如：
堆

查找

既然已经知道堆的结构就是数组了，那么查找这件事情就特别简单了，遍历数组。

新增

那么，如果我们要新增一个元素呢？
新增的元素不能破坏堆的两个特点。

一、堆必须是一个完全二叉树。
所以，新增的元素需要在数组的尾部。
堆

二、堆中每一个节点的值都必须大于等于(或小于等于)其子树中每个节点的值。
所以，新增的元素还需要调整其位置，这个过程叫做堆化(heapify)。
堆化

删除

对于删除，我们把一个元素删除之后，需要把其子节点中的最大元素移上来，然后我们还需要迭代的子节点的子节点中最大的元素移上来。
删除方法

如此操作，直到出现BUG。
BUG

那么，我们换一个思路。我们把最后一个元素覆盖需要删除的元素，然后再调整元素，做堆化处理。
删除

比如在上例中，是以删除堆顶的元素为例。我们在接下来的实现代码中，会专门实现一个删除堆顶元素的方法 pop_top。

实现

示例代码：

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package ch09;

public class Heap {

    // 数组,从下标1开始存储数据
    private int[] a;
    // 堆可以存储的最大数据个数
    private int capacity;
    // 堆中已经存储的数据个数
    private int count;

    public Heap(int c) {
        // 0位置不放内容
        a = new int[c + 1];
        capacity = c;
        count = 0;
    }

    public void swap(int[] a,int i,int j){
        int temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }

    public void find(int data){
        for (int i = 1; i < count; i++) {
            if (a[i] == data){
                System.out.println(i);
                return;
            }
        }
        System.out.println(-1);
    }

    public boolean insert(int data) {
        // 堆满了
        if (count >= capacity)
            return false;
        count = count+1;
        a[count] = data;
        int i = count;
        // i/2 > 0 ：说明有父节点
        // a[i] > a[i/2] ：说明该节点比父节点还大
        while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2])
        {
            // swap()函数作用:交换下标为i和i/2的两个元素
            swap(a, i, i/2);
            i = i/2;
        }
        return true;
    }

    public boolean remove(int data){
        // 堆中没有数据
        if (count == 0)
            return false;
        int index = -1;
        for (int i = 1; i < a.length; i++) {
            if (a[i] == data){
                index = i;
                break;
            }
        }
        // 没有要删除的数据
        if (index == -1){
            return false;
        }
        // 换位置
        a[index] = a[count];
        count = count-1;

        while (true) {
            // 最大值的位置
            int maxPos = index;
            // 判断左子节点
            // 如果有左子节点，且小于左子节点
            if (index*2 <= count && a[maxPos] < a[index*2])
                // 左子节点作为最大的位置
                maxPos = index*2;
            // 判断右子节点
            // 如果有右子节点，且最大位置的节点小于右子节点
            if (index*2+1 <= count && a[maxPos] < a[index*2+1])
                // 那么，右子节点的作为最大的位置
                maxPos = index*2+1;
            // 如果左右节点都比较过了，index就是最大位置，那么说明完成。
            if (maxPos == index)
                break;
            // 互换
            swap(a, index, maxPos);
            // 迭代
            index = maxPos;
        }
        return true;
    }

    public int pop_top() throws Exception {
        if (count == 0){
            throw new Exception("Heap has no element");
        }

        int index = 1;
        int rnt = a[index];
        // 换位置
        a[index] = a[count];
        count = count-1;

        while (true) {
            // 最大值的位置
            int maxPos = index;
            // 判断左子节点
            // 如果有左子节点，且小于左子节点
            if (index*2 <= count && a[maxPos] < a[index*2])
                // 左子节点作为最大的位置
                maxPos = index*2;
            // 判断右子节点
            // 如果有右子节点，且最大位置的节点小于右子节点
            if (index*2+1 <= count && a[maxPos] < a[index*2+1])
                // 那么，右子节点的作为最大的位置
                maxPos = index*2+1;
            // 如果左右节点都比较过了，index就是最大位置，那么说明完成。
            if (maxPos == index)
                break;
            // 互换
            swap(a, index, maxPos);
            // 迭代
            index = maxPos;
        }
        return rnt;

    }

    public void print(){
        String rnt = "";
        for (int i = 1; i <= count; i++) {
            rnt = rnt + a[i] + ",";
        }
        if (rnt.length() > 1){
            rnt = rnt.substring(0,rnt.length() -1);
        }
        System.out.println(rnt);
    }

    public static void main(String[] args) throws Exception {
        Heap heap = new Heap(10);
        heap.insert(9);
        heap.insert(8);
        heap.insert(7);
        heap.insert(6);
        heap.insert(4);
        heap.insert(3);
        heap.insert(2);
        heap.insert(1);
        heap.insert(0);
        heap.print();

        heap.insert(5);
        heap.print();

        heap.remove(10);
        heap.print();

        heap.find(3);

        heap.remove(3);
        heap.print();

        heap.find(3);

        System.out.println(heap.pop_top());
        System.out.println(heap.pop_top());
        System.out.println(heap.pop_top());
        System.out.println(heap.pop_top());
        System.out.println(heap.pop_top());
        System.out.println(heap.pop_top());
        System.out.println(heap.pop_top());
        System.out.println(heap.pop_top());
        System.out.println(heap.pop_top());

    }
}
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class Heap:

    def __init__(self, c):
        self.a = [None] * (c + 1)
        self.capacity = c
        self.count = 0

    def find(self, data):
        for index in range(1, self.count):
            if self.a[index] == data:
                print(index)
                return

        print(-1)

    def insert(self, data):
        # 堆满了
        if self.count >= self.capacity:
            return False
        self.count = self.count + 1
        self.a[self.count] = data
        i = self.count
        # i/2 > 0 ：说明有父节点
        # a[i] > a[i/2] ：说明该节点比父节点还大
        while i // 2 > 0 and self.a[i] > self.a[i // 2]:
            self.a[i], self.a[i // 2] = self.a[i // 2], self.a[i]
            i = i // 2
        return True

    def remove(self, data):
        # 堆中没有数据
        if self.count == 0:
            return False
        index = -1
        for i in range(1, self.count):
            if self.a[i] == data:
                index = i
                break
        # 没有要删除的数据
        if index == -1:
            return False
        # 换位置
        self.a[index] = self.a[self.count]
        self.count = self.count - 1
        while True:
            # 最大值的位置
            max_pos = index
            # 判断左子节点
            # 如果有左子节点，且小于左子节点
            if index * 2 <= self.count and self.a[max_pos] < self.a[index * 2]:
                # 左子节点作为最大的位置
                max_pos = index * 2
                # 判断右子节点
                # 如果有右子节点，且最大位置的节点小于右子节点
            if index * 2 + 1 <= self.count and self.a[max_pos] < self.a[index * 2 + 1]:
                # 那么，右子节点的作为最大的位置
                max_pos = index * 2 + 1
            # 如果左右节点都比较过了，index就是最大位置，那么说明完成。
            if max_pos == index:
                break
            self.a[index], self.a[max_pos] = self.a[max_pos], self.a[index]
            index = max_pos

        return True

    def print(self):
        print(self.a[1:self.count + 1])

    def pop_top(self):
        if self.count == 0:
            raise Exception("Heap has no element")
        index = 1
        rnt = self.a[index]
        # 换位置
        self.a[index] = self.a[self.count]
        self.count = self.count - 1
        while True:
            # 最大值的位置
            max_pos = index
            # 判断左子节点
            # 如果有左子节点，且小于左子节点
            if index * 2 <= self.count and self.a[max_pos] < self.a[index * 2]:
                # 左子节点作为最大的位置
                max_pos = index * 2
                # 判断右子节点
                # 如果有右子节点，且最大位置的节点小于右子节点
            if index * 2 + 1 <= self.count and self.a[max_pos] < self.a[index * 2 + 1]:
                # 那么，右子节点的作为最大的位置
                max_pos = index * 2 + 1
            # 如果左右节点都比较过了，index就是最大位置，那么说明完成。
            if max_pos == index:
                break
            self.a[index], self.a[max_pos] = self.a[max_pos], self.a[index]
            index = max_pos

        return rnt


if __name__ == '__main__':
    heap = Heap(10)
    heap.insert(9)
    heap.insert(8)
    heap.insert(7)
    heap.insert(6)
    heap.insert(4)
    heap.insert(3)
    heap.insert(2)
    heap.insert(1)
    heap.insert(0)
    heap.print()

    heap.insert(5)
    heap.print()

    heap.remove(10)
    heap.print()

    heap.find(3)

    heap.remove(3)
    heap.print()

    heap.find(3)

    print(heap.pop_top())
    print(heap.pop_top())
    print(heap.pop_top())
    print(heap.pop_top())
    print(heap.pop_top())
    print(heap.pop_top())
    print(heap.pop_top())
    print(heap.pop_top())
    print(heap.pop_top())
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[9, 8, 7, 6, 5, 3, 2, 1, 0, 4]
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[9, 8, 7, 6, 5, 4, 2, 1, 0]
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堆排序

现在，观察一下上面的代码，尤其是 pop_top，元素从到小依此弹出？排序？

排序

再想一下，堆有什么特点。
对于大顶堆，顶部的元素一定是整个堆中堆大的。
对于小顶堆，顶部的元素一定是整个堆中最小的。

那么如果我们迭代从堆中"弹出"顶部的元素，是不是就实现了排序？
时间复杂度O(nlog⁡n)O(n \log n)。
思路就是这么简单，但是在具体实现上，我们为了做到原地排序，可以这么做。
最堆顶的元素和堆的最后一个元素互换，然后剩下的元素重新堆化成新的堆。
排序

建堆

现在有一个问题了，我们上面那个排序算法基于了一个前提条件：数据已经组成了一个堆结构。
可是，没这个条件啊。
创造条件

那我们就来创造条件，建堆。
我们循环迭代调用上文中的insert方法。
那么时间复杂就是O(nlog⁡n)O(n \log n)

在这里，我们讨论另一种方法。
所有的元素组成一个完全二叉树，然后我们从完全二叉树的最后一个非叶子节点开始一直到根节点，循环迭代做堆化操作。
建堆

实现

需要特别注意的是，因为参与堆排序的数组通常是从0位置开始，所以在这份代码中，我们的堆也从0位置开始。

示例代码：

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package ch09;

import java.util.Arrays;

public class HeapSort {

    public static void swap(int[] a, int i, int j){
        int temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }

    /**
     *
     * @param arr
     * @return
     */
    public static int[] heapSort(int[] arr) {
        if (arr.length <= 1) {
            return arr;
        }

        // 1、建堆
        for (int i = (arr.length - 1) / 2; i >= 0; i--) {
            heapify(arr, arr.length - 1, i);
        }

        // 2、排序
        int k = arr.length - 1;
        while (k > 0) {
            // 将堆顶元素（最大）与最后一个元素交换位置
            swap(arr, 0, k);
            // 将剩下元素重新堆化，堆顶元素变成最大元素
            k = k - 1;
            heapify(arr, k, 0);
        }
        return arr;
    }

    private static void heapify(int[] arr, int n, int i) {
        while (true) {
            // 最大值位置
            int maxPos = i;
            // 与左子节点（i * 2 + 1）比较，获取最大值位置
            if (i * 2 + 1 <= n && arr[i] < arr[i * 2 + 1]) {
                maxPos = i * 2 + 1;
            }
            // 最大值与右子节点（i * 2 + 2）比较，获取最大值位置
            if (i * 2 + 2 <= n && arr[maxPos] < arr[i * 2 + 2]) {
                maxPos = i * 2 + 2;
            }
            // 最大值是当前位置结束循环
            if (maxPos == i) {
                break;
            }
            // 与子节点交换位置
            swap(arr, i, maxPos);
            // 以交换后子节点位置接着往下查找
            i = maxPos;
        }
    }


    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {3,44,38,5,47,15,36,26,27,2,46,4,19,50,48};
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
        // 只有数组不为空，并且数组的长度大于1，这时候的排序才有意义
        if (null != arr && arr.length > 1){
            heapSort(arr);
        }
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}
运行结果： 
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[3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48]
[2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]

示例代码：

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def heap_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr

    # 1、建堆
    for i in range((len(arr) - 1) // 2, -1, -1):
        arr = heapify(arr, len(arr) - 1, i)

    # 2、排序
    k = len(arr) - 1
    while k > 0:
        # 将堆顶元素（最大）与最后一个元素交换位置
        arr[0], arr[k] = arr[k], arr[0]
        # 将剩下元素重新堆化，堆顶元素变成最大元素
        k = k - 1
        arr = heapify(arr, k, 0)
    return arr


def heapify(arr, n, i):
    while (True):
        # 最大值位置
        max_pos = i
        # 与左子节点（i * 2 + 1）比较，获取最大值位置
        if i * 2 + 1 <= n and arr[i] < arr[i * 2 + 1]:
            max_pos = i * 2 + 1
        # 最大值与右子节点（i * 2 + 2）比较，获取最大值位置
        if i * 2 + 2 <= n and arr[max_pos] < arr[i * 2 + 2]:
            max_pos = i * 2 + 2
        # 最大值是当前位置结束循环
        if max_pos == i:
            break
        # 与子节点交换位置
        arr[i], arr[max_pos] = arr[max_pos], arr[i]
        # 以交换后子节点位置接着往下查找
        i = max_pos
    return arr


if __name__ == '__main__':
    arr = [3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48]
    print(arr)
    print(heap_sort(arr))
运行结果： 
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[3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48]
[2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]

优先队列

在第二章的时候，我们讨论了"队列"，其特点是先进先出，排队。
那么，现在，这种情况怎么办？
医院排队

医院排队，这种情况是不是要让严重的患者先看病？
这就是优先队列，优先级高的先出队。

那么怎么实现优先队列？
再观察一下我们上文的堆的实现，特别是 pop_top，弹出堆顶的元素，这个就是我们的出队方法。
优先队列的原理就是堆，在Java中是PriorityQueue(优先队列)；在Python中，则毫不掩饰的告诉你他的原理，heapq(堆队列)。

接下来，我们具体来看看PriorityQueue和heapq。

示例代码：

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package ch09;

import java.util.PriorityQueue;

public class PriorityQueueTest {

    public static void main(String[] args) {
        PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<Integer>();
        q.offer(3);
        q.offer(1);
        q.offer(4);
        q.offer(1);
        q.offer(5);
        q.offer(9);
        q.offer(2);
        q.offer(6);

        System.out.println(q.poll());
        System.out.println(q.poll());
        System.out.println(q.poll());
        System.out.println(q.poll());

    }
}
运行结果： 
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示例代码：

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import heapq

q = []
heapq.heappush(q, 3)
heapq.heappush(q, 1)
heapq.heappush(q, 4)
heapq.heappush(q, 1)
heapq.heappush(q, 5)
heapq.heappush(q, 9)
heapq.heappush(q, 2)
heapq.heappush(q, 6)

print(heapq.heappop(q))
print(heapq.heappop(q))
print(heapq.heappop(q))
print(heapq.heappop(q))
运行结果： 
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那么，现在有一个问题了。
这个优先队列都是让小的数字先出对列，如果我想要大的数先出队列呢？

而且，如果队列中的元素不是那些可以比较的基础类型呢？比如，我们自己定义的一个类，学生类，股票类。

千万次的问

这已经不是第一次我们问自己这个问题了，在第七章，讨论TreeMap有序表的时候，有提出了类似的问题。
如果在TreeMap中，如果我们的key不是那些可以比较的基础类型呢？比如，我们自己定义的一个类，学生类，股票类。

比较器

那我就自行定义他们之间的大小关系，这就是比较器。

优先队列的比较器

在Java中

在Java中，我们自定义一个比较器就OK了。
示例代码：

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package ch09;

import java.util.Comparator;
import java.util.PriorityQueue;

public class PriorityQueueComparator {

    public static class C {
        public String k;
        public Integer v;
        public C(String key, int value){
            k = key;
            v = value;
        }

        @Override
        public String toString() {
            return "C{" +
                    "k='" + k + '\'' +
                    ", v=" + v +
                    '}';
        }
    }

    static class com implements Comparator<C> {

        @Override
        public int compare(C o1, C o2) {
            return o2.v - o1.v;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        PriorityQueue<C> q = new PriorityQueue<C>(new com());
        q.offer(new C("c1",3));
        q.offer(new C("c2",1));
        q.offer(new C("c3",4));
        q.offer(new C("c4",5));
        q.offer(new C("c5",9));

        System.out.println(q.poll().toString());
        System.out.println(q.poll().toString());
        System.out.println(q.poll().toString());
        System.out.println(q.poll().toString());
        System.out.println(q.poll().toString());

    }
}

运行结果：

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C{k='c5', v=9}
C{k='c4', v=5}
C{k='c3', v=4}
C{k='c1', v=3}
C{k='c2', v=1}

在Python中

在Python中，有一个麻烦是 heapq本身不支持自定义比较函数。
但是，如果我们查看heapq的源代码，会看到这么一段。

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# 'heap' is a heap at all indices >= startpos, except possibly for pos.  pos
# is the index of a leaf with a possibly out-of-order value.  Restore the
# heap invariant.
def _siftdown(heap, startpos, pos):
    newitem = heap[pos]
    # Follow the path to the root, moving parents down until finding a place
    # newitem fits.
    while pos > startpos:
        parentpos = (pos - 1) >> 1
        parent = heap[parentpos]
        if newitem < parent:
            heap[pos] = parent
            pos = parentpos
            continue
        break
    heap[pos] = newitem

是通过if newitem < parent:来实现的。
所以，我们的思路是重写对象的__lt__()。

示例代码：

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import heapq

class C:
    def __init__(self, key, value):
        self.k = key
        self.v = value

    def __lt__(self, other):
        if self.v < other.v:
            return False
        else:
            return True

    def p(self):
        print(self.k, self.v)


c1 = C("c1", 3)
c2 = C("c2", 1)
c3 = C("c3", 4)
c4 = C("c4", 5)
c5 = C("c5", 9)

h = []
heapq.heappush(h, c1)
heapq.heappush(h, c2)
heapq.heappush(h, c3)
heapq.heappush(h, c4)
heapq.heappush(h, c5)
heapq.heappop(h).p()
heapq.heappop(h).p()
heapq.heappop(h).p()
heapq.heappop(h).p()
heapq.heappop(h).p()

运行结果：

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c5 9
c4 5
c3 4
c1 3
c2 1

TreeMap的比较器

最后，我们解答一下在第七章我们留下的一个问题，如果在TreeMap中，如果我们的key不是那些可以比较的基础类型呢？

示例代码：

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package ch09;

import java.util.Comparator;
import java.util.TreeMap;

public class TreeMapComparator {

    public static class C {
        public String k;
        public Integer v;
        public C(String key, int value){
            k = key;
            v = value;
        }

        @Override
        public String toString() {
            return "C{" +
                    "k='" + k + '\'' +
                    ", v=" + v +
                    '}';
        }
    }

    static class com implements Comparator<C> {

        @Override
        public int compare(C o1, C o2) {
            return o2.v - o1.v;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        TreeMap<C,String> treeMap = new TreeMap<C,String>(new com());
        treeMap.put(new C("c1",3),"三");
        treeMap.put(new C("c2",1),"一");
        treeMap.put(new C("c3",4),"四");
        treeMap.put(new C("c4",5),"五");
        // treeMap.put(new C("c5",9),"九");
        treeMap.put(new C("c6",2),"二");
        treeMap.put(new C("c7",6),"六");

        System.out.println(treeMap.firstKey());
        System.out.println(treeMap.lastKey());

        System.out.println(treeMap.floorKey(new C("c5",9)));
        System.out.println(treeMap.ceilingKey(new C("c5",9)));

    }


}

运行结果：

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C{k='c7', v=6}
C{k='c2', v=1}
null
C{k='c7', v=6}
文章作者: Kaka Wan Yifan
文章链接: https://kakawanyifan.com/10609
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