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6.二分法

上一章,我们多次提到二分插入排序,这是一个用二分法来找插入位置的插入排序算法。
但其实,我们最早一次提到二分法,是在《经典机器学习及其Python实现:9.决策树》,讨论信息熵的时候。

二分法的时间复杂度

当时,我们举了这么一个例子。

假设,现在有8个西瓜,而且8个西瓜中只有一个是好瓜。而我们对西瓜完全不了解,只能猜。这时候卖西瓜的和我们玩一个游戏,猜一次一块钱。
那么,成本最小的方式是:

graph LR 1-4{在1-4中?} 1-2{在1-2中?} 5-6{在5-6中?} 1{1?} 3{3?} 5{5?} 7{7?} g1(瓜-1) g2(瓜-2) g3(瓜-3) g4(瓜-4) g5(瓜-5) g6(瓜-6) g7(瓜-7) g8(瓜-8) 1-4 -- 是 --> 1-2 1-4 -- 否 --> 5-6 1-2 -- 是 --> 1 1-2 -- 否 --> 3 5-6 -- 是 --> 5 5-6 -- 否 --> 7 1 -- 是 --> g1 1 -- 否 --> g2 3 -- 是 --> g3 3 -- 否 --> g4 5 -- 是 --> g5 5 -- 否 --> g6 7 -- 是 --> g7 7 -- 否 --> g8

按照这个策略,我们只需要猜三次,就可以选中最好的西瓜。即我们只需要猜三次,就可以让不确定变成确定。

现在,我们把西瓜的数量改一下。
现在有16个西瓜,需要多少猜多少次?很简单,4次。
那么32个西瓜呢?5次。

被查找区间的大小变化:

n,n2,n4,88,,n2k,n,\frac{n}{2},\frac{n}{4},\frac{8}{8},\cdots,\frac{n}{2^k},\cdots

现在问,有n个西瓜,需要猜多少次?

O(logn)O(\log n)

这就是二分法的时间复杂度,极其高效。

二分法的局限性

  1. 二分法依赖的数据结构是数组。
    链表不可以,因为二分法要频繁的根据下标去访问元素,而链表需要用一个一个的指针去指,时间复杂度是O(n)O(n),有指过去的时间,不如直接遍历。
    但是,数组的话可以做到时间复杂度是O(1)O(1)
  2. 二分法针对的是有序数据。
    因为每次选择一段都需要一个反馈,才能做下一步的二分操作。(买西瓜的例子,可以看成是按照特殊排序方法排序的有序数据)
  3. 数据量太大的话,不适合二分法。
    这个或许不太好理解,毕竟还有这么一个式子成立。limnlognn=0\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log n}{n} = 0
    理论上应该数据量越大越适合二分法。但,二分法依赖于数组,数组要求是内存中的连续空间,如果我们的数据有1GB,那就要求1GB的连续的内存空间。所以数据量太大,不适合二分法。

二分法的应用

接下来我们来讨论二分法的5个常见应用。

  1. 查找是否存在等于给定值的元素
  2. 查找等于给定值的第一个位置
  3. 查找等于给定值的最后一个位置
  4. 查找大于等于给定值的第一个位置
  5. 查找小于等于给定值的最后一个位置

查找是否存在等于给定值的元素

  1. 如果中间值等于给定值,说明存在。
  2. 如果中间值大于给定值,说明在左边,rIndex左移。
  3. 如果中间值小于给定值,说明在右边,lIndex右移。

示例代码:

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package ch06;

public class BinarySearchExist {

/**
* 二分法查找是否存在
* @param sortedArr 排序之后的数组
* @param num 需要查找的数
* @return 是否存在
*/
public static boolean binarySearchExist(int[] arr,int target){
// 最左边数字的index
int lIndex = 0;
// 最右边数字的index
int rIndex = arr.length - 1;
// 中间数字的index
int midIndex = 0;
// 一定是 lIndex < rIndex
// 不能是 lIndex != rIndex
while (lIndex < rIndex){
// 中间的index
// 不写作 (lIndex + rIndex)/2 的原因是这样不容易溢出
midIndex = lIndex + (rIndex - lIndex) / 2;
if (arr[midIndex] == target){
// 如果中间的数字就是要找的数字
return true;
}else if (arr[midIndex] > target){
// 如果中间的数字比要找的数字大,说明在左侧。
rIndex = midIndex - 1;
}else{
// 反之,如果中间的数字比要找的数字小,说明在右侧
lIndex = midIndex + 1;
}
}
return (arr[lIndex] == target);
}
}

示例代码:

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def binarySearchExist(arr, target):
# 最左边数字的index
lIndex = 0
# 最右边数字的index
rIndex = len(arr) - 1
# 中间数字的index
midIndex = 0
# 一定是 lIndex < rIndex
# 不能是 lIndex != rIndex
while lIndex < rIndex:
# 中间的index
# 不写作 (lIndex + rIndex) // 2 的原因是这样不容易溢出
midIndex = lIndex + (rIndex - lIndex) // 2
if arr[midIndex] == target:
# 如果中间的数字就是要找的数字
return True
elif arr[midIndex] > target:
# 如果中间的数字比要找的数字大,说明在左侧。
rIndex = midIndex - 1
else:
# 反之,如果中间的数字比要找的数字小,说明在右侧
lIndex = midIndex + 1

return arr[lIndex] == target

查找等于给定值的第一个位置

第二个问题,我们加大难度了。等于给定值的第一个位置。
如果等于给定值的话,为了找第一个位置,我们还需要rIndex再左移,但是有可能左移就移出去了,所以我们再每一次相等的时候,并在左移之前,都把当前位置记下来。如果真移出去了,那么当前位置就是等于给定值的第一个位置。

示例代码:

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package ch06;

public class BinarySearchFirstE {

/**
* 二分法查找是否存在
* @param sortedArr 排序之后的数组
* @param num 需要查找的数
* @return 是否存在
*/
public static int binarySearchFirstE(int[] arr,int target){
// 记录位置
int index = -1;
// 最左边数字的index
int lIndex = 0;
// 最右边数字的index
int rIndex = arr.length - 1;
// 中间数字的index
int midIndex = 0;
while (lIndex <= rIndex){
// 中间的index
// 不写作 (lIndex + rIndex)/2 的原因是这样不容易溢出
midIndex = lIndex + (rIndex - lIndex) / 2;
if (arr[midIndex] == target){
index = midIndex;
rIndex = midIndex-1;
}else if (arr[midIndex] > target){
// 如果中间的数字比要找的数字大,说明在左侧。
rIndex = midIndex - 1;
}else{
// 反之,如果中间的数字比要找的数字小,说明在右侧
lIndex = midIndex + 1;
}
}
return index;
}
}

示例代码:

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def binarySearchFirstE(arr, target):
# 记录位置
index = -1
# 最左边数字的index
lIndex = 0
# 最右边数字的index
rIndex = len(arr) - 1
# 中间数字的index
midIndex = 0
while lIndex <= rIndex:
# 中间的index
# 不写作 (lIndex + rIndex)/2 的原因是这样不容易溢出
midIndex = lIndex + (rIndex - lIndex) // 2
if arr[midIndex] == target:
index = midIndex
rIndex = midIndex - 1
elif arr[midIndex] > target:
# 如果中间的数字比要找的数字大,说明在左侧。
rIndex = midIndex - 1
else:
# 反之,如果中间的数字比要找的数字小,说明在右侧
lIndex = midIndex + 1

return index

查找等于给定值的最后一个位置

这个问题和查找等于给定值的第一个位置差不多。
如果等于给定值的话,为了找第一个位置,我们需要lIndex右移。

示例代码:

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package ch06;

public class BinarySearchLastE {

public static int binarySearchLastE(int[] arr,int target){
// 记录第一个位置
int index = -1;
// 最左边数字的index
int lIndex = 0;
// 最右边数字的index
int rIndex = arr.length - 1;
// 中间数字的index
int midIndex = 0;
// 一定是 lIndex < rIndex
// 不能是 lIndex != rIndex
while (lIndex <= rIndex){
// 中间的index
// 不写作 (lIndex + rIndex)/2 的原因是这样不容易溢出
midIndex = lIndex + (rIndex - lIndex) / 2;
if (arr[midIndex] == target){
index = midIndex;
lIndex = midIndex + 1;
}else if (arr[midIndex] > target){
// 如果中间的数字比要找的数字大,说明在左侧。
rIndex = midIndex - 1;
}else{
// 反之,如果中间的数字比要找的数字小,说明在右侧
lIndex = midIndex + 1;
}
}
return index;
}
}

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def binarySearchLastE(arr, target):
# 记录位置
index = -1
# 最左边数字的index
lIndex = 0
# 最右边数字的index
rIndex = len(arr) - 1
# 中间数字的index
midIndex = 0
while lIndex <= rIndex:
# 中间的index
# 不写作 (lIndex + rIndex)/2 的原因是这样不容易溢出
midIndex = lIndex + (rIndex - lIndex) // 2
if arr[midIndex] == target:
index = midIndex
lIndex = midIndex + 1
elif arr[midIndex] > target:
# 如果中间的数字比要找的数字大,说明在左侧。
rIndex = midIndex - 1
else:
# 反之,如果中间的数字比要找的数字小,说明在右侧
lIndex = midIndex + 1

return index

查找大于等于给定值的第一个位置

这个问题和查找等于给定值的第一个位置差不多。
大于等于给定值的情况下,我们都让rIndex左移。

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package ch06;

public class BinarySearchFirstGE {

/**
* 二分法查找是否存在
* @param sortedArr 排序之后的数组
* @param num 需要查找的数
* @return 是否存在
*/
public static int binarySearchFirstGE(int[] arr,int target){
int index = -1;
// 最左边数字的index
int lIndex = 0;
// 最右边数字的index
int rIndex = arr.length - 1;
// 中间数字的index
int midIndex = 0;
// 一定是 lIndex <= rIndex
while (lIndex <= rIndex){
// 中间的index
// 不写作 (lIndex + rIndex)/2 的原因是这样不容易溢出
midIndex = lIndex + (rIndex - lIndex) / 2;
if (arr[midIndex] >= target){
index = midIndex;
rIndex = midIndex - 1;
}else{
// 反之,如果中间的数字比要找的数字小,说明在右侧
lIndex = midIndex + 1;
}
}
return index;
}
}

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def binarySearchFirstGE(arr, target):
# 记录位置
index = -1
# 最左边数字的index
lIndex = 0
# 最右边数字的index
rIndex = len(arr) - 1
# 中间数字的index
midIndex = 0
while lIndex <= rIndex:
# 中间的index
# 不写作 (lIndex + rIndex)/2 的原因是这样不容易溢出
midIndex = lIndex + (rIndex - lIndex) // 2
if arr[midIndex] >= target:
index = midIndex
rIndex = midIndex - 1
else:
# 反之,如果中间的数字比要找的数字小,说明在右侧
lIndex = midIndex + 1

return index

查找小于等于给定值的最后一个位置

这个问题和查找等于给定值的最后一个位置差不多。
大于等于给定值的情况下,我们都让lIndex右移。

示例代码:

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package ch06;

public class BinarySearchLastLE {

public static int binarySearchLastLE(int[] arr,int target){
int index = -1;
// 最左边数字的index
int lIndex = 0;
// 最右边数字的index
int rIndex = arr.length - 1;
// 中间数字的index
int midIndex = 0;
// 一定是 lIndex <= rIndex
while (lIndex <= rIndex){
// 中间的index
// 不写作 (lIndex + rIndex)/2 的原因是这样不容易溢出
midIndex = lIndex + (rIndex - lIndex) / 2;
if (arr[midIndex] <= target){
index = midIndex;
lIndex = midIndex + 1;
}else{
// 反之,如果中间的数字比要找的数字小,说明在右侧
rIndex = midIndex - 1;
}
}
return index;
}
}

示例代码:

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def binarySearchLastLE(arr, target):
# 记录位置
index = -1
# 最左边数字的index
lIndex = 0
# 最右边数字的index
rIndex = len(arr) - 1
# 中间数字的index
midIndex = 0
while lIndex <= rIndex:
# 中间的index
# 不写作 (lIndex + rIndex)/2 的原因是这样不容易溢出
midIndex = lIndex + (rIndex - lIndex) // 2
if arr[midIndex] <= target:
index = midIndex
lIndex = midIndex + 1
elif arr[midIndex] > target:
# 如果中间的数字比要找的数字大,说明在左侧。
rIndex = midIndex - 1

return index

对数器

示例代码:

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package ch06;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

/**
* 对数器
*/
public class Comparator_BinarySearch {

public static void main(String[] args) throws Exception {
int testTimes = 500000;
int maxSize = 100;
int maxValue = 100;
boolean isSuccess = true;
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
int[] arr = genRandomArr(maxSize,maxValue);
if (null == arr || arr.length < 1){
continue;
}
Arrays.sort(arr);
int target = (int)(Math.random() * maxValue);

ArrayList<Integer> aList = new ArrayList<Integer>();
boolean a = searchExist(arr,target);
aList.add(a?1:0);
aList.add(searchFirstE(arr,target));
aList.add(searchLastE(arr,target));
aList.add(searchFirstGE(arr,target));
aList.add(searchLastLE(arr,target));

ArrayList<Integer> bList = new ArrayList<Integer>();
boolean b = BinarySearchExist.binarySearchExist(arr,target);
bList.add(b?1:0);
bList.add(BinarySearchFirstE.binarySearchFirstE(arr,target));
bList.add(BinarySearchLastE.binarySearchLastE(arr,target));
bList.add(BinarySearchFirstGE.binarySearchFirstGE(arr,target));
bList.add(BinarySearchLastLE.binarySearchLastLE(arr,target));

if(!isEqual(aList,bList)){
System.out.println(Arrays.toString(arr));
System.out.println(target);
System.out.println(aList);
System.out.println(bList);
isSuccess = false;
break;
}
}
System.out.print(isSuccess);
}

public static boolean isEqual(ArrayList<Integer> a,ArrayList<Integer> b){
for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
if (a.get(i) != b.get(i)){
return false;
}
}
return true;
}

/**
* 生成随机长度的随机无序数组
* @param maxSize 数组的最大长度
* @param maxValue 数组的最大值
* @return 随机长度的随机无序数组
*/
public static int[] genRandomArr(int maxSize,int maxValue){
int[] arr = new int[(int)(Math.random() * maxSize)];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
arr[i] = (int)(Math.random() * maxValue);
}
return arr;
}

public static boolean searchExist(int[] arr,int target){
boolean isExist = false;
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
if (arr[i] == target){
isExist = true;
break;
}
}
return isExist;
}

public static int searchFirstE(int[] arr,int target){
int index = -1;
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
if (arr[i] == target){
index = i;
break;
}
}
return index;
}

public static int searchLastE(int[] arr,int target){
int index = -1;
boolean getEqual = false;
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
if (arr[i] == target){
getEqual = true;
}
if (getEqual == true){
if (i == arr.length - 1){
index = i;
break;
}else{
if (arr[i + 1] > target){
index = i;
break;
}
}
}
}
return index;
}

public static int searchFirstGE(int[] arr,int target){
int index = -1;
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
if (arr[i] >= target){
index = i;
break;
}
}
return index;
}

public static int searchLastLE(int[] arr,int target){
int index = -1;
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
if (arr[i] > target){
index = i-1;
break;
}
if (i == arr.length - 1){
index = i;
}
}
return index;
}

}
运行结果:
1
true

示例代码:

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import random

from ch06 import BinarySearchExist, BinarySearchFirstE, BinarySearchLastE, BinarySearchFirstGE, BinarySearchLastLE


def gen_random_arr(max_size, max_value):
"""
生成一个随机的数组
:param max_size: 生成的随机数组的最大长度
:param max_value: 生成的随机数组的最大值
:return: 生成的随机数组
"""
arr_rnt = []
random_size = random.randint(0, max_size)
for i in range(random_size):
arr_rnt.append(random.randint(0, max_value))

return arr_rnt


def search_exist(arr, target):
is_exist = False
for iter in arr:
if iter == target:
is_exist = True
break

return is_exist


def search_first_e(arr, target):
index = -1
for i in range(len(arr)):
if arr[i] == target:
index = i
break

return index


def search_last_e(arr, target):
index = -1
get_equal = False
for i in range(len(arr)):
if arr[i] == target:
get_equal = True

if get_equal:
if i == (len(arr) - 1):
index = i
break
elif arr[i + 1] > target:
index = i
break
return index


def search_first_ge(arr, target):
index = -1
for i in range(len(arr)):
if arr[i] >= target:
index = i
break

return index


def search_last_le(arr, target):
index = -1
for i in range(len(arr)):
if arr[i] > target:
index = i - 1
break
if i == (len(arr) - 1):
index = i

return index


if __name__ == '__main__':
testTimes = 500000
maxSize = 100
maxValue = 100
is_success = True
for i in range(testTimes):
arr = gen_random_arr(maxSize, maxValue)

if arr is None or len(arr) < 1:
continue

arr.sort()
target = random.randint(0, maxValue)

aList = []
a = search_exist(arr, target)
aList.append(1 if a else 0)
aList.append(search_first_e(arr, target))
aList.append(search_last_e(arr, target))
aList.append(search_first_ge(arr, target))
aList.append(search_last_le(arr, target))

bList = []
b = BinarySearchExist.binarySearchExist(arr, target)
bList.append(1 if b else 0)
bList.append(BinarySearchFirstE.binarySearchFirstE(arr, target))
bList.append(BinarySearchLastE.binarySearchLastE(arr, target))
bList.append(BinarySearchFirstGE.binarySearchFirstGE(arr, target))
bList.append(BinarySearchLastLE.binarySearchLastLE(arr, target))

if aList != bList:
print(arr)
print(target)
print(aList)
print(bList)
is_success = False
break

print(is_success)
运行结果:
1
True

二分插入排序

最后再回到二分插入排序。应该插入到哪个位置?
小于等于给定值的最后一个位置的再下一个位置。

示例代码:

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package ch06;

import java.util.Arrays;

/**
* 插入排序
*/
public class BinaryInsertionSort {

public static void main(String[] args) {
int[] arr = {3,44,38,5,47,15,36,26,27,2,46,4,19,50,48};
System.out.println(Arrays.toString(arr));
// 只有数组不为空,并且数组的长度大于1,这时候的排序才有意义
if (null != arr && arr.length > 1){
arr = binaryInsertionSort(arr);
}
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}

/**
* 插入排序
* @param arr
* @return
*/
public static int[] binaryInsertionSort(int[] arr){
// i从1开始,先做到前2个数有序。
// 为什么不是先做到前1个数有序?一个数字,不用排序了。
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
// 保存当前值
int key = arr[i];
// 利用二分查找定位插入位置
int index = binarySearchLastLE(arr, key, 0, i - 1) + 1;
// 将目标插入位置,同一时候右移目标位置右边的元素
for (int j = i; j > index; j--) {
arr[j] = arr[j - 1];
}
arr[index] = key;
}

return arr;
}

/**
* 二分查找最后一个小于等于的位置
* @param sortedArr
* @param num
* @param from
* @param to
* @return
*/
private static int binarySearchLastLE(int[] sortedArr, int num, int from, int to) {
int index = -1;
// 最左边数字的index
int lIndex = from;
// 最右边数字的index
int rIndex = to;
// 中间数字的index
int midIndex = 0;
// 一定是 lIndex <= rIndex
while (lIndex <= rIndex){
// 中间的index
// 不写作 (lIndex + rIndex)/2 的原因是这样不容易溢出
midIndex = lIndex + (rIndex - lIndex) / 2;
if (sortedArr[midIndex] <= num){
index = midIndex;
lIndex = midIndex + 1;
}else{
// 反之,如果中间的数字比要找的数字小,说明在右侧
rIndex = midIndex - 1;
}
}
return index;
}

/**
* 互换
* @param arr 数组
* @param i 需要互换的元素的index
* @param j 需要互换的元素的index
*/
public static void swap(int[] arr,int i,int j){
int tmp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = tmp;
}

}
运行结果:
1
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[3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48]
[2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]

示例代码:

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def binaryInsertionSort(arr_args):
"""
二分插入排序
:param arr_args: 需要排序的数组
:return: 排序之后的数组
"""
# i从1开始,先做到前2个数有序。
# 为什么不是先做到前1个数有序?一个数字,不用排序了。
for i in range(len(arr_args)):
# 保存当前值
key = arr_args[i]
# 利用二分查找定位插入位置
index = binarySearchLastLE(arr_args, key, 0, i - 1) + 1;
# 将目标插入位置,同一时候右移目标位置右边的元素
for j in range(i, index, -1):
arr_args[j] = arr_args[j - 1]
arr_args[index] = key

return arr_args


def binarySearchLastLE(sortedArr, num, fromIndex, toIndex):
# 记录位置
index = -1
# 最左边数字的index
lIndex = fromIndex
# 最右边数字的index
rIndex = toIndex
while lIndex <= rIndex:
# 中间的index
# 不写作 (lIndex + rIndex)/2 的原因是这样不容易溢出
midIndex = lIndex + (rIndex - lIndex) // 2
if sortedArr[midIndex] <= num:
index = midIndex
lIndex = midIndex + 1
elif sortedArr[midIndex] > num:
# 如果中间的数字比要找的数字大,说明在左侧。
rIndex = midIndex - 1

return index


if __name__ == '__main__':
arr = [3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48]
print(arr)
print(binaryInsertionSort(arr))
运行结果:
1
2
[3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48]
[2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]
文章作者: Kaka Wan Yifan
文章链接: https://kakawanyifan.com/10606
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